تمارين المتتاليات العددية 2 باك: الدرس والطرق والصياغة المطلوبة

01

ما هي المتتالية العددية، وطرق تعريفها الثلاث

المتتالية العددية دالة تربط كل عدد صحيح طبيعي n بعدد حقيقي يرمز إليه بـ u(n)، وقد تبدأ من رتبة غير 0. والرتبة تتقدم بخطوة ثابتة قدرها 1، ولهذا لا تنطبق عليها أدوات دراسة الدوال كما هي، ولهذا الدرس براهينه الخاصة: المفاهيم الرياضية متشابهة في الشكل، لكن الاستدلال المطلوب مختلف.

تعرف المتتالية بثلاث طرق، ومعرفة الطريقة المستعملة توجه التمرين كله. الصيغة الصريحة تعطي u(n) بدلالة n وحدها، فيحسب كل حد مباشرة. والصيغة التراجعية تعطي الحد الأول وعلاقة من نوع u(n+1) = f(u(n))، فلا يبلغ حد إلا انطلاقا من سابقه، ومن هنا اللجوء إلى الاستدلال بالترجع. وقد تبنى المتتالية انطلاقا من أخرى، كأن نضع v(n) = u(n) − a، وهو أسلوب يرد الحالة المطروحة إلى حالة معروفة، ويتكرر كثيرا في تمارين هذا الدرس.

• حدد طريقة التعريف قبل أي حساب
• تحقق من رتبة الانطلاق: 0 أم 1
• لا تنقل خاصيات الدوال إلى متتالية تراجعية

02

المتتاليات الحسابية والهندسية: التعرف ثم الحساب

تكون المتتالية حسابية إذا انتقلنا من حد إلى الذي يليه بإضافة العدد نفسه دائما: u(n+1) = u(n) + r، حيث r هو الأساس، والحد العام u(n) = u(0) + n r. وتكون هندسية إذا ضربنا دائما في العدد نفسه: u(n+1) = q u(n)، ومنه u(n) = u(0) q^n.

لإثبات أن المتتالية حسابية، احسب الفرق u(n+1) − u(n) وبين أنه لم يعد يتعلق بـ n: هو الأساس r. ولإثبات أنها هندسية، احسب النسبة u(n+1) / u(n) بعد التأكد من أن الحدود لا تنعدم: قيمتها الثابتة هي الأساس q. أما المجاميع فللحسابية عدد الحدود مضروبا في نصف مجموع الحد الأول والأخير، وللهندسية ذات أساس يخالف 1 الحد الأول مضروبا في (1 − q^N) ÷ (1 − q)، حيث N عدد الحدود.

• احسب الفرق بالحروف، لا بتعويض n بعدد
• تأكد أن الحدود لا تنعدم قبل القسمة
• احسب عدد الحدود قبل تطبيق صيغة المجموع

03

الرتابة والتأطير: إثبات تقارب متتالية

دراسة الرتابة تبدأ من إشارة الفرق u(n+1) − u(n) لكل n: موجب يعني متتالية تزايدية، وسالب يعني تناقصية. وإذا كانت جميع الحدود موجبة قطعا، فقارن النسبة u(n+1) / u(n) بالعدد 1. وإذا كانت u(n) = f(n) و f رتيبة، ورثت المتتالية منحى تغيراتها، ولا يصلح هذا الاختصار مع صيغة تراجعية.

يقال إن المتتالية مكبورة بالعدد الحقيقي M إذا كان u(n) ≤ M لكل n، ومصغورة بالعدد m إذا كان m ≤ u(n) لكل n، والمكبورة المصغورة معا تسمى محدودة. ومنه نظرية الدرس الأساسية: كل متتالية تزايدية ومكبورة متقاربة، وكذلك كل متتالية تناقصية ومصغورة. لكنها لا تعطي قيمة النهاية: إذا كان u(n+1) = f(u(n)) و f متصلة، فالنهاية l تحقق f(l) = l. أما في الحالة الهندسية فتستنتج النهاية من الأساس، إذ يؤول q^n إلى 0 متى كان |q| < 1.

04

الاستدلال بالترجع: الصياغة المطلوبة

يثبت الاستدلال بالترجع أن خاصية متعلقة بـ n صحيحة ابتداء من رتبة معينة، وصياغته جزء من البرهان: بدون المراحل الثلاث لا يكتمل الاستدلال. التحقق: نتحقق من الخاصية عند رتبة الانطلاق بحسابها، لا بالتصريح بصحتها. الوراثة: نفترض أن الخاصية صحيحة من أجل عدد صحيح طبيعي n معين، ثم نبرهن أنها تبقى صحيحة عند n + 1. الخلاصة: نصرح بصحتها لكل عدد صحيح طبيعي ابتداء من رتبة الانطلاق.

وفي الثانية باك يخدم هذا الاستدلال ثلاثة أغراض غالبا: إثبات صيغة صريحة لمتتالية معرفة بصيغة تراجعية، وإثبات أن جميع الحدود محصورة بين عددين، وإثبات رتابة لا تظهرها دراسة الفرق مباشرة. والأخطاء تتكرر في المواضع نفسها: تحقق منسي، وفرضية استعملت دون أن تكتب، ووراثة تنطلق مما كان ينبغي إثباته. ولا تدس الخلاصة في وسط البرهان: بنية الاستدلال هي ما يجعل البرهان مقروءا ومتماسكا.

• صرح بفرضية الترجع قبل استعمالها
• اختم بجملة تشمل كل عدد صحيح طبيعي ابتداء من رتبة الانطلاق

05

أنواع تمارين المتتاليات العددية 2 باك، والمطلوب في كل نوع

تدور تمارين هذا الدرس حول عدد محدود من النماذج. نموذج أول يعطي متتالية بصيغة تراجعية ويطلب إثبات أن متتالية مساعدة من نوع v(n) = u(n) − a حسابية أو هندسية، ثم استنتاج الحد العام لـ u ثم نهايتها. ونموذج ثان يطلب تأطير الحدود بالترجع، ثم دراسة الرتابة، ثم استعمال نظرية تقارب المتتاليات الرتيبة المحدودة. ونموذج ثالث يشتغل على المجاميع. ويبنى كثير من التمارين على شكل سلسلة: كل سؤال يمهد للذي يليه.

قراءة النص تكشف ما هو مطلوب منك: «بين أن» تطلب برهانا كاملا، و«استنتج» تعني أن النتيجة تستخرج من سؤال سابق. وإذا أردت مراجعة الدرس مع أستاذ، فحدد بدقة الموضع الذي يتوقف فيه الاستدلال، واحمل معك تمرينا حاولته وأوراق مسوداتك. في Ostadiapp، انطلق من مادة الرياضيات والمستوى الثانوي التأهيلي ونوع الحصة: عن بعد في كل المغرب، وحضوريا حسب الأساتذة المتاحين في مدينتك، ومكان الحصة يتفق عليه مع الأستاذ.

• اقرأ أسئلة التمرين كلها قبل أن تبدأ
• اذكر شعبتك ولغة فروضك في أول رسالة