Comment montrer qu’une suite est arithmétique ou géométrique ?

Le raisonnement se fait en lettres, jamais sur deux ou trois termes calculés. Pour l’arithmétique, formez u(n+1) − u(n) et montrez que le résultat ne contient plus n : ce résultat est la raison r. Pour la géométrique, formez u(n+1) / u(n) après avoir vérifié que les termes ne s’annulent pas, et montrez que ce quotient est constant : il vaut la raison q. Si aucune des deux ne tombe juste, l’exercice attend souvent une suite auxiliaire construite à partir de la première.

Comment étudier le sens de variation d’une suite ?

Le signe de u(n+1) − u(n) reste la voie la plus sûre, mais il n’est pas toujours lisible : quand la différence refuse de se factoriser, passez au quotient u(n+1) / u(n) comparé à 1, à condition que tous les termes soient strictement positifs. Si le quotient résiste lui aussi, la monotonie se démontre par récurrence, souvent après avoir établi un encadrement des termes. Le raccourci « f croissante, donc suite croissante » ne vaut que pour une suite explicite u(n) = f(n), où n est la variable de f. Sur une suite définie par récurrence u(n+1) = f(u(n)), la variation de f ne se transmet pas : si f est croissante, c’est la comparaison de u(0) et u(1), propagée par récurrence, qui donne le sens ; si f est décroissante, la suite n’est en général pas monotone et l’on étudie séparément les termes de rangs pairs et impairs.

Qu’est-ce que le raisonnement par récurrence ?

C’est une démonstration en trois étapes qui prouve une propriété pour tous les entiers à partir d’un rang. On vérifie la propriété au premier rang, on la suppose vraie pour un entier n fixé, puis on en déduit qu’elle est vraie au rang suivant. On conclut qu’elle vaut pour tout entier à partir du rang de départ. Les trois étapes sont attendues explicitement sur la copie : une récurrence dont l’une d’elles manque se lit comme une démonstration incomplète.

Combien de séances faut-il pour rattraper le chapitre des suites ?

Cela dépend de ce qui manque : une difficulté de rédaction sur la récurrence ne se traite pas comme une lacune sur les formules du terme général. Raisonnez par objectifs plutôt qu’en nombre de séances — reconnaître le type de suite, rédiger une récurrence complète, mener une étude de limite — et faites un point après chacun. Entre deux séances, refaire seul un exercice du même type montre le mieux où vous en êtes.

2 BAC · Chapitre

Suites numériques en 2 BAC : cours, méthodes et rédaction

Le chapitre des suites numériques figure au programme de maths des filières scientifiques, techniques et économiques de 2 BAC, et il se joue rarement sur le calcul : il se joue sur la méthode et sur la rédaction. Pour ce qui est réellement au programme de votre filière, vérifiez auprès de votre établissement.

Par l’équipe Ostadiapp

Ce qu’est une suite numérique, et les trois façons de la définir

Une suite numérique associe à chaque entier n un nombre réel, noté u(n) : c’est une fonction définie sur les entiers naturels, ou sur les entiers à partir d’un certain rang. L’indice n avance par pas de 1, si bien que les outils de l’étude de fonctions — dérivée, théorème des valeurs intermédiaires — n’ont pas d’équivalent direct sur les entiers, et que le chapitre possède ses propres démonstrations.

On définit une suite de trois manières, et reconnaître laquelle oriente tout l’exercice. La forme explicite donne u(n) en fonction de n seul : chaque terme se calcule directement. La forme récurrente donne le premier terme et une relation du type u(n+1) = f(u(n)) : on n’atteint un terme qu’en partant du précédent, d’où le recours à la récurrence. Une suite peut enfin être construite à partir d’une autre, par exemple v(n) = u(n) − a, pour se ramener à un cas connu.

Suites arithmétiques et géométriques : reconnaître, puis calculer

Une suite est arithmétique lorsqu’on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre : u(n+1) = u(n) + r, où r est la raison. Le terme général s’écrit u(n) = u(0) + n r si la suite commence au rang 0, et plus généralement u(n) = u(p) + (n − p) r. Elle est géométrique lorsqu’on multiplie toujours par le même nombre : u(n+1) = q u(n), d’où u(n) = u(0) q^n et u(n) = u(p) q^(n−p). Retenir les deux écritures évite bien des erreurs d’indice.

Pour montrer qu’une suite est arithmétique, calculez u(n+1) − u(n) et vérifiez qu’il ne dépend plus de n ; pour une géométrique, calculez u(n+1) / u(n), après avoir écarté les termes nuls, et vérifiez sa constance. Un cas particulier ne prouve rien : le calcul reste littéral. Côté sommes, l’arithmétique donne le nombre de termes multiplié par la demi-somme du premier et du dernier ; la géométrique de raison q différente de 1 donne le premier terme multiplié par (1 − q^N) / (1 − q), où N compte les termes.

Calculer u(n+1) − u(n) sans remplacer n par un nombre
Vérifier qu’aucun terme n’est nul avant de diviser
Compter les termes avant d’appliquer une formule de somme

Monotonie, majorants, minorants : montrer qu’une suite converge

Étudier la monotonie, c’est déterminer le signe de u(n+1) − u(n) pour tout n : positif, la suite croît ; négatif, elle décroît. Si tous les termes sont strictement positifs, comparer u(n+1) / u(n) à 1 revient au même et va plus vite. Troisième voie, réservée aux suites explicites : si u(n) = f(n) avec f monotone sur l’intervalle correspondant, la suite hérite de son sens de variation — raccourci qui ne vaut pas pour une suite définie par récurrence.

Un réel M majore la suite si u(n) ≤ M pour tout n ; un réel m la minore si m ≤ u(n), et une suite majorée et minorée est dite bornée. De là vient un théorème central : toute suite croissante et majorée converge, toute décroissante et minorée également. Il donne l’existence de la limite, jamais sa valeur. Si la suite converge — parce qu’elle est croissante et majorée, par exemple — et si u(n+1) = f(u(n)) avec f continue, alors sa limite l vérifie f(l) = l : on résout cette équation, puis on écarte les solutions que l’encadrement ou le sens de variation de la suite interdisent. Pour une géométrique, la limite se lit sur la raison : q^n tend vers 0 dès que |q| < 1.

Le raisonnement par récurrence : la rédaction attendue

La récurrence démontre qu’une propriété dépendant de n est vraie à partir d’un certain rang, et sa rédaction fait partie de la démonstration. L’initialisation : on vérifie la propriété au premier rang, en la calculant, pas en l’affirmant. L’hérédité : on suppose la propriété vraie pour un entier n fixé, supérieur ou égal au rang de l’initialisation — c’est l’hypothèse de récurrence, écrite noir sur blanc — puis on démontre qu’elle l’est encore au rang n + 1. La conclusion : on énonce qu’elle vaut pour tout entier à partir du rang initial.

En 2 BAC, il sert surtout à établir la formule explicite d’une suite définie par récurrence, à encadrer tous ses termes, ou à démontrer une monotonie que la différence ne laisse pas voir. Les erreurs reviennent toujours aux mêmes endroits : initialisation oubliée, hypothèse utilisée sans avoir été écrite, hérédité qui repart de ce qu’il fallait démontrer. Partez de l’hypothèse et transformez-la jusqu’au rang suivant, sans glisser la conclusion au milieu.

Écrire l’initialisation en la calculant
Énoncer l’hypothèse de récurrence avant de s’en servir
Conclure pour tout entier à partir du rang initial

Travailler les suites numériques en 2 BAC avec un professeur

Le chapitre se retravaille plus facilement quand on nomme précisément ce qui bloque. « Je ne comprends rien aux suites » ne mène nulle part ; « je reconnais une suite géométrique, mais je bloque sur les suites auxiliaires » donne de quoi construire une séance. Le point de rupture est presque toujours l’un de ces quatre : les indices, la rédaction d’une récurrence, le passage de la relation au terme général, l’étude de la limite.

Sur Ostadiapp, un cours en ligne se tient partout au Maroc ; en présentiel, cela dépend des professeurs disponibles dans votre ville, et le lieu se convient avec le professeur. Un bon objectif de séance sur ce chapitre : arriver à rédiger seul une récurrence, du premier rang à la conclusion.

Nommer le point exact où le raisonnement s’arrête
Apporter un exercice tenté et vos brouillons
Indiquer la filière et la langue de vos contrôles

Reprendre le chapitre des suites avec un professeur

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